الرياضيات التي وراء النمذجة – ترجمة عدنان أحمد الحاجي

بعضنا قد يكون سعيدًا بتركه لمادة الرياضيات وراءه في المدرسة الثانوية أو الكلية، ولكن بعد أن انتشرت جائحة كوفيد-19 اصبح لمادة الرياضيات اليومية تأثير على حياتنا كلها – حتى لو لم يكن علينا أن نقوم بمعالجة وتحليل الأرقام بأنفسنا.

نماذج رياضية – مبنية على أساس حساب التفاضل والتكامل، والاحصاء و نظرية الاحتمالات – كانت واحدة من القوى الدافعة وراء التشريعات، على الأقل في ولاية أوهايو، حول جائحة كوفيد-19.

“المستشفيات بحاجة إلى معرفة، بشكل تقريبي، هل لدينا ما يكفي من الأسرة، هال لدينا ما يكفي من أجهزة التنفس الصناعي، وإذا لم يكن لديك بعض المعلومات التقديرية فأنت بالفعل تلعب بالنار”، حسب ما قال جو تاين Joe Tien، استاذ الرياضيات المشارك في جامعة أوهايو وقائد فريق نمذجة  كوفيد-19. “لن نقول أن حساباتنا التقديرية هي ما سيحدث ولكن على الأقل سيكون لدينا بعض العمليات التي نستخلص منها حسابات تقديرية؛ وإلا، لكان كل ما نقوم به هو تخمين”.

لدى جامعة ولاية أوهايو فريق يعمل على نمذجة جائحة كوفيد-19 منذ أوائل مارس 2020. ويشترك في إدارته جو  تاين Tien وغريغ رمبالا Greg Rempala ، برفسور الإحصاء الحيوي في كلية الصحة العامة ، ويضم باحثين في الجغرافيا والطب والصحة البيئية وغيرها. يقدم الفريق من بين مجموعة باحثين ، إلى جانب مسؤولين من ادارة الصحة بولاية أوهايو وجمعية مستشفيات أوهايو ، نمذجة وإحصاءات لفريق عمل الجائحة التابع لحاكم الولاية.

النمذجة التي استخدمها فريق جامعة ولاية أوهايو قبل بضع سنوات ، بدأت بوقت طويل قبل أن يقفز هذا الفيروس التاجي المعين من الحيوانات إلى البشر. في عام 2015 ، استجابة لفاشية الإيبولا المنتشرة في غرب أفريقيا ، قرر تاين ورمبالا وباحث آخر في معهد العلوم البيولوجية الرياضية (الحسابية) في جامعة ولاية أوهايو دراسة طرق انتشار الأمراض على الشبكات البشرية – بين زملاء العمل وبين الأصدقاء ، من الأطفال إلى والديهم.

إحدى الطرق لدراسة هذا الانتشار: هو مفهوم رياضي يُعرف باسم العملية التصادفية stochastic process (العشوائية) ، وهي طريقة لتحليل الأحداث العشوائية بمرور الزمن. أدرك الباحثون أنه يمكنهم تطبيق حساب التفاضل والتكامل البسيط على هذه العملية عند الأخذ في الإعتبار انتشار المرض والخروج بمجموعة من المعادلات التفاضلية لدراسة معدل تغير عدد الأشخاص المعرضين للإصابة بهذا المرض في مجتمع معين.

وقال تاين “هنا حيث تأتي الحاجة إلى استخدام حساب التفاضل والتكامل الذي تعلمناه – معدل التغير في عدد الأشخاص المعرضين للإصابة بين المجموعة السكانية ، وهذا هو الأساس الكامن وراء النموذج الذي نأخذه في الاعتبار لـكوفيد”. “من هناك ، طور زملاؤنا بعض الأساليب الإحصائية الرائعة لاستخدام الإحصاء لإيجاد احتمالية سرعة انتشار المرض”.

النموذج الذي استخدمه تين ورامبلا، أولاً في فاشية فيروس إيبولا والآن يستخدماه لجائحة كوفيد-19 ، وهذه نسخة مكبرة من النموذج الذي طور في القرن العشرين لنمذجة وباء الأنفلونزا الذي حدث في 1918-1919. يحاول هذا النموذج ، المسمى بنموذج SIR،  تحليل الطرق التي يتفاعل بها الناس لنشر المرض. يشير مصطلح “SIR” إلى “قابل للإصابة susceptible و معدي infectious ومتعافي recovered” ، وهو وسيلة لتجميع الأشخاص في مجموعات: الأشخاص القابلين للإصابة Susceptible لم يصابوا بالمرض حتى الآن  ، والناس المصابين بالعدوى حاليًا infectious . والمتعافين Recovered وهم الذين أصيبوا بالمرض وتعافوا منه.

يعتمد نموذج SIR على بيانات عن مرض معين وكيف ينتشر ، ولكن عندما يكون المرض جديدًا – الجزء “المستجد” من “الفيروس التاجي المستجد” في حالة الجائحة الحالية – الحصول على البيانات الموثوقة من الأمور الصعبة. كما أن نموذج SIR التقليدي لا يأخذ أيضًا في الاعتبار التغييرات السلوكية والتشريعات كالابتعاد الاجتماعي وأوامر البقاء في المنزل.

وهذا ما يقوم به بالضبط النموذج الذي استخدمه تاين ورامبالا بالفعل.

كان النموذج محدودًا في البداية ويعاني بسبب نقص البيانات الجيدة – ولا يزال ، إلى حد ما. نظرًا لأن فحص الفيروس كان في حدوده الدنيا – حيث تم فحص نسبة صغيرة فقط من السكان ، وعمومًا فقط عندما يكون الشخص مريضًا جدًا – لا يمكن للنموذج أن يحدد على وجه اليقين ما هي نسبة السكان المعرضة للاصابة بالعدوى أو التي اصابتها العدوى أو المتعافية.

ولكن لأن الفيروس كان قد ظهر بالفعل في الصين وإيطاليا وكوريا الجنوبية وأماكن أخرى وعندما وصل إلى الولايات المتحدة ، كان لدى فريق النمذجة بعض القرائن. نوع آخر من الرياضيات – الجمع والطرح البسيطَين – أصبح مهمًا. تحتوي المستشفيات في ولاية أوهايو على عدد محدود من أسرة المستشفيات وأجهزة التنفس الصناعي ومعدات الحماية الشخصية ، وهي الأشياء الحاسمة التي تجعلنا قادرين على علاج مرضى كوفيد-19.

وقال رمبالا: “حتى مع هذه المعلومات المحدودة ، لدينا فكرة عن كيف تتوسع ، وتبين أن هذه هي بالضبط نوع المعلومات التي نحتاجها للتنبؤ بعدد أسرة المستشفيات التي سنحتاجها”. “باستخدام هذا النوع من المقاربة ، لا يمكننا استخدامها لحساب العدد الإجمالي للأشخاص المصابين في ولاية أوهايو ، ولكن يمكننا مساعدة الولاية على التخطيط لمقدار الاستيعاب (السعة) التي ستحتاجها”.

المعادلات الحوسبية لا توازي التشريعات. إنها ببساطة تقدم نماذج تخمين أكثر علميةً، بناءً على أفضل البيانات المتاحة ، لما قد يحدث في سيناريوهات مختلفة. في أوائل مارس 2020 ، عندما أستخدم فريق النمذجة لأول مرة أرقام كوفيد-19 في معادلاتهم ، لم تكن هناك تدابير للمسافة الاجتماعية. ولا زالت المدارس والمطاعم وصالونات الشعر مفتوحة.

أظهرت النماذج الأولية أعدادًا عالية جدًا من مرضى كوفيد-19 ؛ وبعد أن أصدر المشرعون  في الولاية أوامر بالبقاء في المنزل وأغلقت المدارس والعديد من الشركات ، أظهرت النماذج – وبيانات الزمن الحقيقي لأولئك المرضى – انخفاضًا في هذه الأرقام.

مع بدء إعادة اجراء الفتح في ولاية أوهايو وولايات أخرى ، بشكل بطيء في بعض الحالات ، لا تزال تلك النماذج صحيحة. يجب أن تعطي هذه النماذج المشرعين بعض الرؤى الثاقبة حول كيف تتكشف قراراتهم في العالم الحقيقي.